Hướng dẫn giải bất phương trình lượng giác Toán 11

Bài viết Hướng dẫn giải bất phương trình lượng giác Toán 11 mà Hoatieu.vn giới thiệu dưới đây được biên soạn nhằm giúp học sinh nắm vững phương pháp giải các dạng bất phương trình lượng giác thường gặp trong chương trình lớp 11.

Bài viết này trình bày chi tiết các bước giải, từ việc biến đổi lượng giác, xác định điều kiện xác định đến việc tìm nghiệm và biểu diễn tập nghiệm trên trục tròn lượng giác. Các ví dụ được chọn lọc theo mức độ từ cơ bản đến nâng cao, phù hợp để học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán, chuẩn bị cho các bài kiểm tra, thi học kỳ và ôn thi học sinh giỏi. Việc hiểu rõ cách giải từng dạng bài sẽ giúp học sinh tiếp cận nội dung này một cách tự tin, logic và hiệu quả hơn.

1. Phương pháp giải toán

Muốn tìm được nghiệm của bất phương trình lượng giác ta phải đưa về dạng đơn giản. Cụ thể:

– Phương pháp 1: Đưa bất PT lượng giác về dạng cơ bản:

.

Thông thường ta dùng đường tròn lượng giác để tìm các họ nghiệm tương ứng.

– Phương pháp 2: Viết bất phương trình về tích hoặc thương các hàm số lượng giác cơ bản. Xét dấu các thừa số từ đó chọn nghiệm thích hợp.

2. Cách giải bất phương trình lượng giác

Các bất phương trình lượng giác cơ bản cần ghi nhớ là: cos x ≥ a;  sin x ≥ a; tan x ≥ a; cot a ≥ a

cos x ≥ a

• Nếu a > 1 thì bất phương trình vô nghiệm
• Nếu a = 1 thì bất phương trình có nghiệm là:

x = k2π; (k ∈ Z)

• Nếu -1 < a < 1, bất phương trình có nghiệm 

-arccos a + k2π ≤ x ≤ arccos a + k2π; (k ∈ Z)

• Nếu a ≤ 1 bất phương trình có vô số nghiệm

sin x ≥ a

• Nếu a > 1 thì bất phương trình vô nghiệm
• Nếu a = 1 thì bất phương trình có nghiệm là:

x = π/2 + k2π; (k ∈ Z)

• Nếu -1 < a < 1, bất phương trình có nghiệm

-arcsin a + k2π ≤ x ≤ arcsin a + k2π; (k ∈ Z)

• Nếu a ≤ 1 bất phương trình có vô số nghiệm

tan x ≥ a có nghiệm là 

arctan a + kπ ≤ x < π/2 + kπ; (k ∈ Z)

cot x ≥ a có nghiệm là

kπ < a < arccot a +  + kπ; (k ∈ Z)

3. Ví dụ giải bất phương trình lượng giác

Ví dụ 1: Giải bất phương trình dưới đây:

Hướng dẫn giải:

Bất phương trình đã cho tương đương với:

(sinx - cosx + 1). (sinx + cos x - 1) >0

⇔ sin²x - (1 - cosx)² > 0

⇔ 1 - cos²x - (1 - 2cosx + cos²x) > 0

⇔ 2cos²x - 2cosx  < 0

⇔ 0 < cosx < 1

Ví dụ 2: Giải bất phương trình lượng giác sau:

5 + 2cos2x ≤ 3|2sinx - 1|

Hướng dẫn giải:

Ta đặt: t = sinx; t ∈ [-1; 1]

Bất phương trình tương đương với

5 + 2(1 - 2t²) ≤ 3|2t - 1||

⇔ 7 - 4t² ≤ 3|2t - 1|

Dựa vào 2 ví dụ vừa rồi cùng với phương pháp giải bất phương trình lượng giác ở trên các em có thể làm được các bài tập tương tự.

Mời các bạn tham khảo thêm các thông tin hữu ích khác trong nhóm Lớp 11 thuộc chuyên mục Học tập của HoaTieu.vn.