Các dạng bài tập về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số Toán 11

Trong chương trình Toán lớp 11, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một nội dung quan trọng, giúp học sinh nắm vững ứng dụng của đạo hàm trong việc phân tích đặc điểm của hàm số. Các dạng bài tập về phương trình tiếp tuyến không chỉ yêu cầu kỹ năng tính toán chính xác mà còn đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về ý nghĩa hình học của tiếp tuyến. Bài viết này sẽ hệ thống hóa các dạng bài tập phổ biến, từ cơ bản đến nâng cao, kèm theo phương pháp giải chi tiết, giúp học sinh tự tin làm chủ kiến thức và đạt kết quả cao trong học tập.

I. Khái niệm phương trình tiếp tuyến

Tiếp tuyến của một đường cong tại một điểm bất kì thuộc đường cong là một đường thẳng chỉ "chạm" vào đường cong tại điểm đó. Tiếp tuyến như một đường thẳng nối một cặp điểm gần nhau vô hạn trên đường cong. Chính xác hơn, một đường thẳng là một tiếp tuyến của đường cong y = f (x) tại điểm x = c trên đường cong nếu đường thẳng đó đi qua điểm (c, f (c)) trên đường cong và có độ dốc f '(c) với f ' là đạo hàm của f.

Khi tiếp tuyến đi qua điểm giao của đường tiếp tuyến và đường cong trên, được gọi là tiếp điểm, đường tiếp tuyến "đi theo hướng" của đường cong, và do đó là đường thẳng xấp xỉ tốt nhất với đường cong tại điểm tiếp xúc đó.

Mặt phẳng tiếp tuyến của mặt cong tại một điểm nhất định là mặt phẳng "chỉ chạm vào" mặt cong tại điểm đó.

- Hệ số góc k của tiếp tuyến chính là f′(x) . Vậy khi bài toán cho hệ số góc k thì các bạn sẽ đi giải phương trình sau:
f′(x₀) = k; với x₀ là hoành độ tiếp điểm.

Giải phương trình này các bạn sẽ tìm được x₀, từ đó sẽ tìm được y₀ .

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tai điểm M(x₀;y₀).

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x₀;y₀) là y = y′(x₀)(x−x₀) + y₀

Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm x

II. Các dạng toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Phương trình tiếp tuyến được chia thành 3 dạng cơ bản là:

• Viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M
• Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A cho trước
• Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k

Viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M(x₀,y₀) có dạng:

y=f‘(x₀)(x−x₀)+y₀ (1)

Trong đó f‘(x₀) là đạo hàm của hàm số tại điểm x₀.

x₀;y₀ là hoành độ, tung độ của tiếp điểm M.

Như vậy với bài tập yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến thì ta phải tìm 3 đại lượng, là: f′(x₀);x₀và y₀.

Viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm cho trước M(x₀,y₀)

Cách làm: Bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M(x₀,y₀) thì công việc cần làm là tìm f′(x₀);x₀ và y₀, trong đó x₀,y₀ chính là tọa độ của điểm M, vì vậy chỉ cần tính f′(x₀), rồi thay vào phương trình (1) là xong.

Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

Cho đồ thị hàm số y=f(x), viết phương trình tiếp tuyến Δ của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua A(a,b)

Phương pháp: 

Gọi phương trình tiếp tuyến của Δ có dạng:  

Và có tiếp điểm M₀(x₀,y₀)

Vì A(a,b) thuộc tiếp tuyến nên thay tọa độ A vào phương trình ta có:

b=f′_x0(a–x₀)+f_x0 với f_x0=y₀

Phương trình này chỉ chứa ẩn x₀, do đó chỉ cần giải phương trình trên để tìm x₀.

Sau đó sẽ tìm được f′x₀và y₀.

Tới đây phương trình tiếp tuyến của chúng ta đã tìm được.

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k

Để viết phương trình tiếp tuyến Δ của đồ thị (C) y = f(x) khi hệ số góc k ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Tính đạo hàm f’(x)

Bước 2: Giải phương trình f’(x) = k để tìm hoành độ x₀ của tiếp điểm. Từ đây suy ra tọa độ điểm M₀(x₀;y₀) với y₀=f(x₀)

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến Δ tại tiếp điểm M₀(x₀;y₀):

y=f′(x₀)(x–x₀)+y₀

Chú ý: Tính chất của hệ số góc k của tiếp tuyến

Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì k = a

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì     

Phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b nên tiếp tuyến có hệ số góc k=a. Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua tiếp điểm M(x₀,y₀) là y=a(x−x₀)+y₀

Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng có phương trình y=ax+b nên tiếp tuyến có hệ số góc  

Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua tiếp điểm M(x₀,y₀) là  

_{Mời các bạn tham khảo thêm các thông tin hữu ích khác trong nhóm Lớp 11 thuộc chuyên mục Học tập của HoaTieu.vn.}